Dipendenza dalla densità

Affinché la nostra energia soddisfi i limiti noti ad alte e basse densità (Ref. [8,16,25,24,22,17]) le funzioni $\alpha_i(r_s)$ devono avere i seguenti sviluppi asintotici:

$$\alpha_i(r_s \rightarrow 0) = A_i + B_i r_s \ln r_s + O (r_s)$$ (4.4)

$$\alpha_i(r_s \rightarrow \infty) = \frac{\mu_i}{r_s}+\frac{\nu_i}{r_s^{3/2}}+O\left(\frac{1}{r_s^2}\right)$$ (4.5)

Costruiamo le nostre $\alpha_i$ seguendo una strategia simile a quella usata da Perdew e Wang per il gas 3D [46]:

$$\alpha_i(r_s) = A_i + \left( B_i r_s + C_i r_s^2 + D_i r_s^3... ...c{1}{E_i r_s + F_i r_s^{3/2} + G_i r_s ^2 + H_i r_s^3}\right)}$$ (4.6)

Questa scelta per le $\alpha_i$ ha i seguenti vantaggi, che illustreremo nelle successive sezioni:

• Con gli opportuni vincoli sui parametri ha il comportamento esatto ad alte e basse densità
• E' una forma funzionale semplice
• E' abbastanza flessibile da rappresentare bene i nostri dati