Indice

• Il gas di elettroni bidimensionale
  • Il modello
    • Definizioni utili
  • Gas di elettroni indipendenti
  • Hartree-Fock
  • Energia di correlazione
  • Teoria perturbativa
    • Energia di correlazione
    • Energia di correlazione a $\zeta =1$ e $\zeta =0$
  • Energia nel limite $r_s= \infty$
  • Limite dal basso dell'energia del gas bidimensionale
  
  
• Il metodo Monte Carlo
  • Variational Monte Carlo
  • Il DMC
    • Il campionamento d'importanza
    • Algoritmo di branching a numero di walker costante
    • Un algoritmo DMC migliorato
    • Approssimazione a nodi fissi
  
  
• Il DMC sul gas 2D
  • Il nostro sistema
  • La funzione d'onda
    • Il fattore di Jastrow
    • I nodi delle onde piane
    • I nodi di backflow
  • L'energia locale
    • L'energia cinetica
    • Il potenziale d'interazione
  • Ottimizzazione
    • Importanza della funzione d'onda nel DMC
    • Ottimizzazione della funzione d'onda
  • Estrapolazioni necessarie nel DMC
    • Estrapolazione in time-step
    • Estrapolazione in numero di walker
  • Valutazione dell'errore statistico
  
  
• Il modello per l'energia
  • Dipendenza dalla polarizzazione
  • Dipendenza dalla densità
  • Limite a $r_s \rightarrow 0$
  • Limite a $r_s \to \infty$
  
  
• Fit dei dati Monte Carlo
  • Effetti dovuti alle dimensioni finite del sistema
  • L'effetto del backflow
  • I dati ed il fit
  
  
• Risultati conclusivi
  • Energia di correlazione
    • Energia di correlazione: dipendenza da $\zeta$ e limiti noti
    • Energia di correlazione a $\zeta =0$ e $\zeta =1$
  • Suscettività di spin
  • Compressibilità
  • Diagramma di fase
  • Conclusioni
  
  
• Ringraziamenti
• Energie calcolate con il DMC
• Confronto con risultati precedenti
• Potenziale di correlazione
• Elenco delle tabelle
• Elenco delle figure
• Bibliografia
• Indice analitico
• About this document ...

1.25 Il gas di elettroni bidimensionale è un modello di notevole interesse fondamentale e applicativo. Lo sviluppo dei dispositivi a semiconduttore, che ha cambiato la vita quotidiana ed è stato fin dalle origini (1947 [1]) legato a doppio filo alla ricerca fondamentale, ha fornito, soprattutto a partire dagli ultimi vent'anni, una nuova possibilità di grande interesse fondamentale: quella di confinare artificialmente in due dimensioni i portatori di corrente (elettroni e buche). Tale possibilità era stata teoricamente prevista nel 1957 dal premio Nobel Schrieffer [2], ma la spinta decisiva verso l'effettiva realizzazione e il perfezionamento è venuta, una ventina d'anni dopo, dalla tecnologia: i transistor a effetto di campo basati sulle giunzioni metallo-ossido-semiconduttore (MOSFET) e, un po' piú tardi, sulle eterostrutture di arseniuro di gallio e arseniuro di gallio e alluminio (GaAs/AlGaAs), andavano incontro a pressanti esigenze di miniaturizzazione e basso rumore [3,4]. A sua volta il confinamento bidimensionale degli elettroni nei semiconduttori (insieme alla possibilità di modificare in un ampio intervallo la densità, la temperatura, il campo magnetico applicato e cosí via) ha avuto formidabili conseguenze per la fisica fondamentale: da un lato ha consentito di verificare previsioni teoriche già esistenti per i sistemi quantistici interagenti in due dimensioni, dall'altro di scoprire sperimentalmente e spiegare teoricamente effetti del tutto nuovi ed imprevisti, con due premi Nobel in vent'anni: von Klitzing nel 1985 per l'effetto Hall quantistico [5] e Laughlin, Störmer e Tsui nel 1998 per l'effetto Hall frazionario [6]. Queste scoperte, legate a studi in alti campi magnetici, sono le piú famose ma non sono certo le uniche: anche in assenza di campo magnetico o in campi magnetici di ampiezza molto piccola rispetto al regime Hall quantistico il gas di elettroni in due dimensioni (specialmente a bassa densità, quando la correlazione gioca un ruolo molto importante), racchiude una ricca fenomenologia e molte domande ancora prive di risposta (ad esempio sulle proprietà di trasporto, sulla risposta a campi magnetici, sul ruolo del disordine, sulla localizzazione delle funzioni d'onda...)  [7].

Dal punto di vista teorico il gas di elettroni bidimensionale è stato oggetto di molti studi; qui richiamiamo brevemente alcuni di essi, pertinenti al nostro studio dell'energia di stato fondamentale in assenza di campo magnetico e della suscettività di spin. L'energia dello stato fondamentale è stata calcolata utilizzando teorie e tecniche diverse come la Random Phase Approximation [8] con tutte le sue possibili correzioni [9,10], o approcci autoconsistenti come quello di Singwi, Tosi, Land e Sjölander [11]. Queste teorie di tipo perturbativo funzionano bene ad alte densità, dove, come vedremo meglio nei capitoli seguenti, il sistema non è fortemento correlato. A densità basse, dove le correlazioni sono molto importanti, le loro previsioni si sono invece rivelate errate: in questo regime esse prevedono ad esempio che la transizione dalla fase paramagnetica a quella ferromagnetica avvenga ad una densità completamente diversa (molto maggiore) rispetto a quella prevista con simulazioni del tipo presentato in questa tesi [8]. Studi teorici sono stati fatti anche per quel che riguarda $\chi$, la suscettività di spin del gas bidimensionale, accessibile anche a diverse tecniche d'indagine sperimentale [12].

In questa tesi presentiamo risultati nuovi per il gas elettronico bidimensionale, di tipo sia numerico che analitico: (i) una nutrita serie di simulazioni quantistiche Monte Carlo in un vasto intervallo di densità e polarizzazione di spin e (ii) un modello analitico per l'energia di correlazione in funzione della densità e della polarizzazione di spin. I nostri dati Monte Carlo sono i primi ad essere ottenuti non solo per il gas paramagnetico e quello ferromagnetico, ma anche per polarizzazioni di spin intermedie. Questo permette di fondare la dipendenza dalla polarizzazione del nostro modello analitico di energia su una base solida, senza piú bisogno delle opinabili congetture d'interpolazione proposte in passato [13,14,15], che, alla luce dei nostri nuovi risultati, si sono rivelano effettivamente non soddisfacenti: ad esempio, e lo vedremo nei prossimi capitoli, l'energia di correlazione, per polarizzazioni intermedie fra zero e uno, differisce significativamente da quella stimata con le congetture citate poco fa. Inoltre la forma funzionale da noi proposta per l'energia di correlazione in funzione della densità e della polarizzazione rispetta numerosi limiti esatti noti ad alta e bassa densità, mentre tutte le precedenti parametrizzazioni, nel limite di alte densità, non hanno l'andamento corretto. Quest'accurata dipendenza dalla polarizzazione e dalla densità fornisce quindi un modello analitico di gran lunga superiore a quelli finora disponibili, e quindi anche un ingrediente assai desiderabile per un'accurata teoria del funzionale densità di spin in due dimensioni (Spin Density Functional Theory, SDFT [16,17]). Altri due risultati utili di questa tesi, direttamente derivati dal nuovo modello analitico di energia, sono poi (iii) la suscettività di spin, che, oltre a derivare da un modello di energia ben piú accurato di tutti i precedenti (che danno infatti sucettività in vistosissimo disaccordo fra di loro e con gli esperimenti), assume anche una forma analitica particolarmente semplice, e (iv) il diagramma di fase a temperatura nulla, che, insieme al punto precedente, rappresenta un necessario riferimento per analoghi, futuri studi del gas bidimensionale in presenza di disordine: cioè di un sistema da qualche tempo al centro di rinnovate e intense indagini sperimentali [18].

La tesi è cosí organizzata:

• Nel primo capitolo presentiamo il modello del gas bidimensionale e richiamiamo i limiti noti per l'energia di correlazione a bassa e alta densità.

• Nel secondo capitolo facciamo una breve panoramica generale sui metodi quantistici Monte Carlo di tipo variazionale (VMC) e diffusionale (DMC), cioè i due tipi di simulazione adottati in questa tesi.

• Nel terzo capitolo descriviamo in maggiore dettaglio i particolari algoritmi adottati per realizzare al calcolatore i metodi VMC e DMC, riferendoli al particolare sistema da noi studiato. Si tratta di questioni in buona parte tecniche, ma necessarie a chi voglia paragonare con cognizione di causa i nostri risultati a quelli del precedente stato dell'arte in questo campo.

• Nel quarto capitolo illustriamo la forma funzionale che abbiamo scelto per il modello analitico dell'energia di correlazione del gas elettronico bidimensionale, fissandone anche, grazie ad alcuni limiti noti, gli andamenti a bassa ed alta densità.

• Nel quinto capitolo torniamo per un attimo a due aspetti della simulazione: il trattamento col quale estrapolare al limite termodinamico (sistema infinito) i risultati MC (originariamente da noi ottenuti per una cella di simulazione finita), e il modo di migliorare le funzioni di prova introducendo il cosiddetto backflow; infine descriviamo la strategia adottata per il fit finale dei parametri liberi nella nostra nuova formula per l'energia di correlazione ai dati Monte Carlo.

• Nel sesto capitolo presentiamo i nostri risultati finali, dopo aver applicato ai dati le rielaborazioni illustrate nei capitoli precedenti. Essi consistono nell'energia di correlazione in funzione della densità e della polarizzazione di spin, nella suscettività di spin, nella compressibilità e nel diagrama di fase del sistema oggetto di questa tesi, presentando alcune considerazioni conclusive.