Approssimazione a nodi fissi

Nell'algoritmo DMC noi assumiamo che la funzione d'onda $\Psi$ , che risolve l'equazione 2.3 e quindi anche la $f$ (eq. 2.10), sia ovunque positiva, cioè non cambi mai segno nello spazio delle configurazioni. Ma per sistemi di fermioni questo non può essere vero in quanto l'antisimmetria implica una funzione d'onda sia positiva che negativa. Sfortunatamente il metodo DMC funziona solamente per distribuzioni positve: provando ad utilizzare il DMC per distribuzioni con segno non definito, il rapporto segnale rumore decade esponenzialmente nel tempo [29,28]. Per risolvere questo problema esattamente sono state proposte generalizzazioni dell'algoritmo DMC che tengano conto del segno dei singoli walker, ma le applicazioni pratiche di questi metodi sono ristrette a sistemi di pochi elettroni [35]. Ben più pratica ed efficace, benché non esatta, è l'approssimazione a nodi fissi (Fixed-node approximation), che utlizziamo nel nostro lavoro: usualmente molto accurata e da un'energia che soddisfa un principio variazionale (vedi [29]). L'idea è molto semplice: una funzione di prova $\Psi_T$ è scelta ed usata per definire una superficie nodale $2N-1$ dimensionale; ogni volta che un walker viene mosso, si controlla il segno della funzione scelta $\Psi_T$; se la funzione d'onda cambia segno, la mossa viene rifiutata. In questo modo otteniamo l'energia più bassa possibile compatibilmente con i nodi della funzione $\Psi_T$, e l'errore commesso sull'energia DMC è del secondo ordine rispetto all'errore sulla superficie nodale [29].
C'è da notare che il campionamento d'importanza, introdotto nel precedente paragrafo, si presta anche a soddisfare la fixed-node approximation. Infatti appena un walker si avvicina alla superficie nodale di $\Psi_T$, il termine di drift cresce come $1/x$, dove $x$ è la distanza normale dalla superficie nodale, allontanando in questo modo il walker dalla superficie nodale cui si era avvicinato. In questo modo il walker tende a non attraversare quasi mai la superficie nodale, ed il random walk campiona, in pratica, una sola regione dove la funzione non cambia mai segno. Ma questo va benissimo perché, ai fini del valor medio di un'operatore si può vedere che per lo stato fondamentale vale la ``tiling property'': ognuna delle regioni dove $\Psi$ ha segno costante è equivalente alle altre [29].