Valutazione dell'errore statistico

L'errore statistico, sulle medie di un dato operatore $O$, sia nel VMC che nel DMC, è calcolato tramite la seguente espressione:

$$\Delta \langle O \rangle = \sqrt{\frac{\sigma^2(O)}{N-1}} = ... ...ft ( \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{N} O_{loc}(R_i) \right)^2}{N-1}}$$ (3.27)

Questa espressione è valida però solo se le varie configurazioni sulle quali sono calcolate le medie sono indipendenti una dall'altra, altrimenti da un sottostima di $\Delta\langle O \rangle$. Nel caso del VMC, le configurazioni sono generate campionando il modulo quadro della funzione d'onda con l'algoritmo di Metropolis; questo algoritmo genera una catena di Markov in uno spazio 2N dimensionale, che converge alla distribuzione di probabilità voluta. Poché $R_{i+1}$ è generato da $R_i$ (vedi. par. 2.1) esse sono in generale correlate. Si potrebbe pensare di aumentare l'ampiezza della mossa, ma questo porterebbe ad aumento delle mosse rifiutate, rendendo correlate le varie configurazioni. L'ampiezza della mossa è stata scelta in modo che la probabilità di accettazione sia circa $0.5$, questo è un tipico compromesso tra mosse troppo piccole e mosse che vengono sempre rifiutate. La correlazione è ancora più evidente nel DMC perchè, la scelta del time-step è vincolata dalla necessità di avere una buona approssimazione della funzione di Green (vedi eq. 2.8).
Per avere una corretta stima dell'errore si può procedre in vari modi: si può calcolare il tempo di correlazione di $O_{loc}(R_i)$ e poi correggere di conseguenza l'errore statistico oppure utilizzare solo configurazioni scorrelate; o si puo utilizzare il metodo del reblocking [36]. Noi abbiamo utilizzato l'ultimo metodo. I dati vengono raggruppati in $N_b$ blocchi di lunghezza $n_b$, in modo che le medie di blocco siano scorrelate fra loro. Si stima poi l'errore statistico sulle medie di blocco:

$$\Delta \langle O \rangle_b = \sqrt{\frac{\frac{1}{N_b} \sum_{b=1}^{N_b}(\langle O \rangle_b - \langle O \rangle)^2 }{N-1}}$$ (3.28)

dove $\langle O \rangle$ è calcolato lungo tutta la simulazione.