L'energia cinetica

Noi vogliamo calcolare:

$$\langle K_i \rangle = - \frac{1}{2} \frac{\langle \Psi \mid \nabla_i^2 \mid \Psi \rangle}{\langle \Psi \mid \Psi \rangle}$$ (3.16)

Questa quantità è calcolata sulla distribuzione di probabilità generata da $\mid \Psi \mid^2$ (vedi capitolo 2). Riscriviamo l'enegia cinetica attraverso queste due quantità:

$$\begin{eqnarray*} C_i = - \frac{1}{4}\nabla_i^2 \ln{\Psi} \\ D_i = - \frac{1}{\sqrt{2}}\nabla_i \ln{\Psi} \end{eqnarray*}$$

si avrà quindi:

$$2 C_i -D_i^2 = -\frac{1}{2} \frac{\nabla_i^2 \Psi }{\Psi}$$ (3.17)

riscrivendo il tutto nel caso della nostra funzione d'onda si ha:

$$\nabla_i \ln{ \Psi} = \frac{\nabla_i D^\uparrow}{D^\uparrow} +\frac{\nabla_i D^\downarrow}{D^\downarrow}- \sum_j {\nabla_i u(r_{ij})}$$

$$\nabla_i^2 \ln{ \Psi} = - \left (\frac{\nabla_i D^\uparrow}{D^\up... ... + \frac{\nabla_i^2 D^\downarrow}{D^\downarrow} - \sum_j {\nabla_i^2 u(r_{ij})}$$

Quando aggiungiamo il backflow il calcolo dell'energia cinetica diventa notevolmente più complesso; rimandiamo al ref. [42] per una trattazione dettagliata.