Hartree-Fock

Per migliorare il risultato precedente dobbiamo considerare anche il termine d'interazione. Possiamo ancora cercare una soluzione come determinate di funzioni d'onda di singola particella, ma tali che minimizzino l'energia relativa all'hamiltonia interagente 1.3: questa è l'approssimazione Hartree-Fock. Scriviamo allora la nostra funzione d'onda:

$${\Psi ( r_1,s_1,r_2,s_2, ... r_N, s_N) } = \left( \begin{arr... ..._N(r_2,s_2) & \cdots & \psi _N(r_N,s_N) \\ \end{array}\right)$$

dove $s_i$ è lo spin della particella $i$esima. Minimizzando l'energia con questa funzione d'onda troviamo le equazioni di Hartee-Fock per le $\psi _i$ :

$$\frac{1}{2r_s^2} \bigtriangledown ^2 \psi_i (r) - \frac{1}{2... ...(r') \psi _j (r) \delta _{s_is_j} = \varepsilon_i \psi _i (r)$$

Poiché il nostro sistema è omogeneo ed isotropo, si può vedere che una soluzione delle equazioni Hartree-Fock è data delle onde piane cioè :

$$\psi _i (r) = \frac{e^{ik_ir}}{\sqrt{L^2}} \times \mbox{ funzione dello spin}$$

Sostituiamo quindi queste funzioni di singola particella nel determinante, moltiplichiamo a sinistra l'eq. di Hartree-Fock per queste stesse $\psi_i^*(r)$ ed integriamo.
Si vede subito che l'energia del nostro sistema sarà data dal contributo del gas non interagente (lo stesso del caso precedente), più un termine $E_{HF}$ che è dato da:

$$\frac{E_{HF}}{N} = -\frac{1}{2r_s} \times \sum_\sigma \int _... ...rt} e^{i \left ( \vec{k_1} - \vec{k_2} \right) \cdot \vec{r} }$$

Svolgendo prima l'integrazione su $\vec{k_1}$ e $\vec{k_2}$, utilizzando le identità:

$$\int _{\vert k_1\vert<k_{F\sigma}} e^{i \vec{k_1} \cdot \vec{r}} d^2k_1 = \int_0^{k_{F \sigma}} 2 \pi J_0(kr) kdk$$

$$= 2 \pi k_{F \sigma} \frac{ J_1(k_{F\sigma}r) }{r}$$

dove $J_0(r)$ è la funzione di Bessel di prima specie di ordine zero. Ed infine integrando rispetto ad $r$ si ha:

$$\int \frac{d^2r}{\vert\vec{r}\vert} \frac{ J_1^2(k_{F\sigma}... ...t\vec{r}\vert^2} = 2 \pi k_{F \sigma} \frac{4}{3\pi} \nonumber$$

L'energia Hartree-Fock è allora data da:

$$\epsilon_{HF} = \frac{1+ \zeta^2}{2r_s^2} - \frac{4 \sqrt{2}... ...[\left( 1+ \zeta \right)^{3/2} + \left(1- \zeta \right)^{3/2}]$$ (1.7)

E' immediato verificare che l'energia Hartree-Fock è equivalente a quella ottenuta aggiungendo la correzione al primo ordine della serie perturbativa nel potenziale d'interazione a quella non interagente (Cf. [8]).