Definizioni utili

Prendiamo delle unità comode per trattare il nostro problema. Definiamo per prima cosa $r_s$ come:

$$r_s = \frac{1}{\sqrt{\pi n } a_B}$$ (1.2)

dove $a_B$ è il raggio di Bohr, $r_s$ è il raggio del disco che ha area pari a quella ``disponibile'' per ogni elettrone. Prendiamo come unità di misura per la lunghezza $a = r_s a_B$ e per l'energia $\frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 a_0}$ (Hartree = 27.2116 eV). Siamo allora in grado di scrivere in modo più semplice l'Hamiltoniana:

$$H = - \frac{1}{2r_s^2} \sum _i ^N \bigtriangledown _i^2 + \frac{1}{r_s} \sum_{i<j}^{N} \frac{1}{ \vert r_i-r_j\vert} + cost.$$ (1.3)

Se chiamiamo il numero di elettroni con spin up e quelli con spin down $N_{\uparrow}$, e $N_{\downarrow}$ possiamo scrivere la polarizzazione come:

$$\zeta = \frac{N_{\uparrow} - N_{\downarrow}}{N}$$ (1.4)

Dove $N$ è il numero totale di elettroni. Quindi possiamo scrivere $N_{\uparrow}= N ( 1 - \zeta)$ e $N_{\downarrow}= N ( 1 + \zeta)$.