Energia nel limite $r_s= \infty$

L'equazione 1.3 mostra con chiarezza che per basse densità ( $r_s \to \infty$) l'energia potenziale conta molto più della parte cinetica; non è possibile quindi utilizzare uno sviluppo di tipo perturbativo per il calcolo dell'energia di correlazione. Ciò nonostante sono stati sviluppati dei modelli che permettono di dare una stima dell'energia di correlazione a grandi $r_s$ [22,17]. Il modello proposto da Seidl, Perdew, Levy (Point Charge Plus Continuum model [17]) dà una stima dell'energia di correlezione per basse densità della forma:

$$\epsilon_c(r_s) = \left( \frac{8}{3 \pi}-2+\frac{4\sqrt{2}}{... ...t)\frac{1}{r_s} + \frac{1}{r_s^{3/2}} + O\left(r_s^{-2}\right)$$ (1.16)

questa è indipendente da $\zeta$, come ci si aspetta dal fatto che nel limite di bassa densità la parte coulombiana domina completamente rispetto a quella cinetica. Inoltre per grandi $r_s$ possiamo pensare di trovare la nostra soluzione minimizzando la parte potenziale dell'hamiltoniane e considerando la parte cinetica come una correzione; questo porta il nostro sistema a cristallizzare. Il primo ad aver previsto la cristallizzazione di un gas di elettroni (nel caso tridimensionale) con background uniforme positivo è stato Wigner nel 1934 [23]. In seguito sono stati fatti vari studi sulla cristallizzazione anche per sistemi bidimensionali [24,25].
Poiché nel cristallo gli elettroni tendono a localizzarsi, la probabilità di sovrapporsi per due elettroni tende a zero. In questo limite l' energia è indipendente dalla polarizzazione, in quanto più bassa è la sovrapposizione ``meno conta'' il principio di Pauli. L'energia del reticolo bidimensionale del gas di elettroni è stata studiata da Maradudin e Bonsall [24], i quali hanno calcolato l'energia dei cinque reticoli di Bravais bidimesionali come somma dell'energia dello stato fondamentale elettronico più quella di punto zero vibrazionale in approssimazione armonica, trovando che il reticolo più stabile è quello esagonale.
Successivi studi hanno trovato un limite dal basso dell'energia del reticolo bidimensionale nella forma (vedi [25]):

$$\epsilon (r_s,\zeta) = \frac{-1.18}{r_s} +O \left( \frac{1}{r^{3/2}} \right)$$ (1.17)

Calcoli recenti del reticolo bidimensionale, eseguiti con il metodo Monte Carlo, hanno fornito stime più precise dell'energia (vedi [13,26]). Esperimenti sulla cristallizzazione di Wigner in giunzioni GaAs/AlGaAs, che rappresentano una ragionevole realizzazione fisica del gas elettronico bidimensionale hanno mostrato un accordo con i risultati sopra citati [27].