Limite dal basso dell'energia del gas bidimensionale

E' anche possibile ottenere un limite dal basso (lower bound) per l'energia del gas d'elettroni, raggionando nel seguente modo. Scriviamo l'energia come:

$$E_{0}=\langle \Psi_0 \mid T \mid \Psi_0 \rangle + \langle \Psi_0 \mid V \mid \Psi_0 \rangle$$ (1.18)

Prendiamo adesso una divera $\Psi$ per ognuno dei due valor medi, in modo che queste siano, rispettivamente, i più bassi autostati antisimmetrici di T e V, otteniamo che:

$$E_0 \geq T_0 + V_0$$ (1.19)

Il più basso autovalore per il potenziale è dato da (vedi [24]):

$$\frac{V_0(r_s,\zeta)}{N} = \frac{-1.1066}{r_s}$$ (1.20)

mentre per la parte cinetica, il più basso autovalore è quello calcolato al paragrafo 1.2:

$$\frac{T_0(r_s,\zeta)}{N} = \frac{1+\zeta^2}{2r_s}$$ (1.21)

Quindi il nostro limite dal basso (figura 1.2) sarà:

$$\epsilon_0 \geq \frac{1+\zeta^2}{2r_s} + \frac{-1.1066}{r_s}$$ (1.22)

Figura 1.2: Limiti dal basso per l'energia totale (Lower bounds) del gas bidimensionale a $\zeta =0$ e $\zeta =1$.