Energia di correlazione a $\zeta =1$ e $\zeta =0$

Chiamiamo l'ultimo termine dell'equazione (1.11) $E_c^{gb}(r_s,\zeta)/N$. Vogliamo ora stabilire una relazione fra $E_c^{gb}(r_s,0)/N$ e $E_c^{gb}(r_s,1)/N$, in modo da poterla utilizzare in seguito come condizione nel limite ad alta densità nel nostro fit. Noi abbiamo per $\zeta =1$ e per $\zeta =0$

$$\frac{E_c^{gb}(r_s,1)}{N} = \frac{1}{4 \pi ^2 \alpha^2 r_s^2} \int_{-\infty}^{+\infty} du \in... ...\pi q}Q_{q \uparrow} \right) -\frac{\alpha r_s}{2 \pi q} Q_{q\uparrow } \right]$$

$$\frac{E_c^{gb}(r_s,0)}{N} = \frac{1}{4 \pi ^2 \alpha^2 r_s^2} \int_{-\infty}^{+\infty} du \in... ...+ \frac{\alpha r_s}{\pi q}Q_{q} \right) -\frac{\alpha r_s}{\pi q} Q_{q} \right]$$

Dove nel caso del gas non polarizzato:

$$Q_{q}(u) = \int d^2k \int_{-\infty}^{+\infty} dt e^{-\vert t\vert(q^2/2 + \vec{q}\cdot \vec{k})} e^{ituq} f(k) [ 1 - f(k+q)]$$ (1.14)

$$= \int d^2k \int_{-\infty}^{+\infty} dt e^{-\vert t\vert(q^2/2 + \vec{q}\cdot \vec{k})} e^{ituq} \theta(k - 1) [ 1 - \theta(k+q - 1)]$$

Ponendo in $Q(u)_{q \uparrow}$ (Eq. 1.10) :

$$\vec{k} \rightarrow 2^{1/2}\vec{k}, \qquad \vec{q} \rightarrow 2^{1/2}\vec{q},\qquad t \rightarrow 2^{1/2} t, \qquad u \rightarrow 2^{1/2} u$$

si ottiene

$$Q_{2^{1/2}q\uparrow}(2^{1/2}u)=Q_q(u)$$

Utilizzando questa relazione è possibile riscrivere $E_c^{gb}(r_s,1)$ come:

$$\frac{E_c^{gb}(r_s,1)}{N} = \frac{4}{4 \pi ^2 \alpha^2 r_s^2} \int_{-\infty}^{+\infty} du \in... ...}{2 \pi 2^{1/2}q}Q_{q} \right) -\frac{\alpha r_s}{2 \pi 2^{1/2}q} Q_{q} \right]$$

Quindi adesso possiamo scrivere una relazione esplicita fra le due energie:

$$E_c^{gb}(r_s,1)=\frac{1}{2}E_c^{gb}\left(\frac{r_s}{2^{3/2}}, 0\right)$$ (1.15)

Questa relazione è importante perché verrà utilizzata come condizione esatta che l'energia di correlazione deve rispettare nel limite di $r_s \to 0$.