Teoria perturbativa

A bassi $r_s$ è possibile cercare una soluzione al problema in teoria delle perturbazioni , sviluppando l'energia rispetto al termine d'interazione elettrone-elettrone. Questa soluzione si rivela esatta nel limite di $r_s$ che va a zero, perché la parte cinetica va come $\frac{1}{r_s^2}$, mentre il potenziale va come $\frac{1}{r_s}$, quindi il sistema si riduce a quello ideale più una correzione piccola che può essere ben rappresentata in teoria delle perturbazioni.
Il primo termine dello sviluppo non è altro che Hartree-Fock. Vogliamo ora scrivere i termini successivi e far vedere come sia possibile risommarli, in parte, seguendo l'approccio di Gell-Mann e Brueckner [19].
Il secondo termine perturbativo è:

$$\frac{E_2}{N} = - \frac{1}{8 \pi ^3}\sum_{\sigma_1 \sigma_2} \int... ...1 \int d^2k_2 f_{\sigma_1}f{\sigma_2}[1-f_{\sigma_1}(\vec{k_1}+\vec{q}) ] \cdot$$ (1.8)

$$\left[1 - f_{\sigma_2} (\vec{k_{2}}+\vec{q})\right]\left(\frac{1}... ...{k_1}+\vec{k_2}\vert}\right)\frac{1}{q^2 + \vec{q}\cdot(\vec{k_1}+\vec{k_2})} =$$

$$\epsilon_2^{dir} + \epsilon_2^{x}$$ (1.9)

Dove $k$ è in unità $k/k_F$ e $f_{\sigma}(k)$ non è altro che la funzione di Fermi a $T = 0$ K, cioè la funzione a gradino:

$$f_{\uparrow} = \theta(k - (1 +\zeta )^{1/2}), f_{\downarrow} = \theta(k - (1 -\zeta )^{1/2})$$

L'energia di second'ordine $E_2$ è indipendente da $r_s$; il primo termine della eq. 1.8 lo chiameremo termine diretto ed il secondo termine di scambio, poiché agisce solo tra elettroni con lo stesso spin. Quest'ultimo è inoltre indipendente da $\zeta$ poiché in esso appare una $\delta_{\sigma_1\sigma_2}$.
Il termine di scambio è stato calcolato analiticamente e vale $0.2287$ Ry [20].
Seguendo la procedura di Gell-Mann e Brueckner riscriviamo il termine diretto nella forma:

$$\frac{E_2^{dir}}{N} = - \frac{1}{4 \pi ^2 \alpha^2 r_s^2}\frac{(-... ... \left ( \frac{\alpha r_s}{2 \pi q} [Q_{q \uparrow}+Q_{q \downarrow}] \right)^2$$

dove

$$Q_{q \sigma}(u) = \int d^2k \int_{-\infty}^{+\infty} dt e^{-\vert... ...rt(q^2/2 + \vec{q}\cdot \vec{k})} e^{ituq} f_\sigma (k) [ 1 - f_{\sigma} (k+q)]$$ (1.10)

prendiamo ora l'ennesimo temine di questo tipo che comparirà nella serie perturbativa; esso ha la forma:

$$\frac{E_n^{dir}}{N} = - \frac{1}{4 \pi ^2 \alpha^2 r_s^2}\frac{(-... ...left ( \frac{\alpha r_s}{2 \pi q} [Q_{q \uparrow}+Q_{q \downarrow}] \right)^n .$$

Scrivendoli tutti insieme si ottiene una serie del tipo

$$- \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + . . . = \ln(1+x) - x ;$$

sommando tutta la serie, per il solo termine diretto, otteniamo allora per l'energia la seguente espressione:

$$\frac{E}{N} = t + \epsilon_{HF} + \epsilon_{x2} + \frac{1}{4 \pi ^2 \alpha^2 r_s^2} \int_{-\infty}^{+\infty} du \int d^2q \vert\vec{q}\vert \cdot$$ (1.11)

$$\left [ ln \left( 1+ \frac{\alpha r_s}{2 \pi q} [Q_{q \uparrow}+Q... ...] \right) -\frac{\alpha r_s}{2 \pi q} [Q_{q \uparrow}+Q_{q \downarrow}] \right]$$

L'energia così ottenuta, a meno del termine $\epsilon_{x2}$, è la stessa che si otterebbe utilizzando la teoria RPA, sviluppata da Bohm e Pines (vedi [21]).