Limite a $r_s \to \infty$

Nel limite di bassa densità le $\alpha_i(r_s)$ hanno lo sviluppo:

$$\alpha_i(r_s) = A_i + \frac{D_i}{H_i} + \left ( \frac{C_i}{H... ...i}{H_i^2}\frac{1}{r_s^{3/2}} + O \left( \frac{1}{r_s^2}\right)$$ (4.10)

Dall'andamento esatto a grandi $r_s$ ([17,22]):

$$\epsilon (r_s,\zeta)_{r_s \rightarrow \infty} = -\frac{m}{r_s} + \frac{n}{r_s^{3/2}} + O \left( \frac{1}{r_s^{2}} \right)$$ (4.11)

dove $m$ ed $n$ sono positive ed indipendenti da $\zeta$, quindi si ha subito la condizione:

$$\frac{D_i}{H_i} = - A_i \mbox{ con } i = 0,1,2$$ (4.12)

Sviluppando adesso la nostra $\epsilon (r_s,\zeta)$,

$$\epsilon (r_s,\zeta)_{r_s \rightarrow \infty} = \frac{1}{2 r_s^2} (1+\zeta^2) - \frac{a_x}{r_s}(2 + a_2 \zeta^2 +a_4\zeta^4) +$$

$$+ \frac{\lambda_0}{r_s} + \frac{\mu_0}{r_s^{3/2}} + \frac{\nu_0}{... ...lambda_1}{r_s} + \frac{\mu_1}{r_s^{3/2}} + \frac{\nu_1}{r_s^2} \right)\zeta^2 +$$

$$+ \left( \frac{\lambda_2}{r_s} + \frac{\mu_2}{r_s^{3/2}} + \frac{\nu_2}{r_s^2} \right)\zeta^4 + O \left( \frac{1}{r_s^{5/2}} \right)$$ (4.13)

dove:

$$\lambda_i = \left ( \frac{C_i}{H_i} -\frac{D_iG_i}{H_i^2} \right)$$

$$\mu_i = - \frac{D_iF_i}{H_i^2}$$

dal confronto con 4.12 ottiamo le condizioni:

$$-2a_x + \lambda_0 = m$$ (4.14)

$$\mu_0 = n$$ (4.15)

$$\lambda_1 = a_xa_2$$ (4.16)

$$\mu_1 = 0$$ (4.17)

$$\lambda_2 = a_x a_4$$ (4.18)

$$\mu_2 = 0$$ (4.19)

dove $m , n$ sono parametri liberi, che determinano il comportamento a bassa densità della fase fluida. Con questo condizioni $\epsilon (r_s,\zeta)$ è indipendente da $\zeta$ fino ad ordini $1/r_s^2$ non compresi. Esplicitando i vari termini si ha:

$$C_0 = - A_0 G_0$$ (4.20)

$$C_1 = -A_1 G_1 + a_x a_2 H_1$$ (4.21)

$$F_1 = 0$$ (4.22)

$$C_2 = -A_2 G_2 + a_x a_4 H_2$$ (4.23)

$$F_2 = 0$$ (4.24)