Potenziale di correlazione

Il potenziale di correlazione $\mu_c^{\sigma}$ per elettroni di spin $\sigma$ è dato da

$$\mu_c^{\sigma}(r_s,\zeta)=\frac{\partial [n\epsilon_c (r_s,\... ...\sigma) \frac{\partial\epsilon_c (r_s,\zeta)}{\partial \zeta},$$ (C.1)

dove ${\rm sgn}\,\sigma$ è $+1$ per elettroni di spin-$\uparrow$ e $-1$ per elettroni di spin-$\downarrow$. Dalla nostra parametrizzazione di $\epsilon_c (r_s,\zeta)$ otteniamo

$$\frac{\partial \epsilon_c (r_s,\zeta)}{\partial r_s}= a_x{\c... ...2}+\alpha_0'(r_s)+\alpha_1'(r_s)\zeta^2+\alpha_2'(r_s)\zeta^4,$$ (C.2)

dove $a_x$ e ${\cal F}(\zeta)$ sono dati da Eqs. (4.4) e  (4.10), e

$$\alpha_i'(r_s) = \frac{d\alpha_i}{dr_s}= (B_i+2C_ir_s+3D_ir_s^2)\ln\left[1+\frac{1}{f_i(r_s)}\right]$$ (C.3)

$$- \frac{(B_i+C_i r_s^2+D_i r_s^3) f_i'(r_s)}{f_i(r_s)[f_i(r_s)+1]}$$ (C.4)

$$f_i(r_s) = E_ir_s+F_ir_s^{3/2}+G_ir_s^2+H_ir_s^3$$ (C.5)

$$f_i'(r_s) = E_i+\frac{3}{2}F_i r_s^{1/2}+2G_ir_s+3H_ir_s^2.$$ (C.6)

La derivata rispetto a $\zeta$ è semplicemente

$$\frac{\partial \epsilon_c (r_s,\zeta)}{\partial \zeta} = \frac{a_x}{r_s}\left(e^{ -\beta r_s}-1\right){\cal F}'(\zeta)+2\alpha_1(r_s)\zeta+4\alpha_2(r_s)\zeta^3$$ (C.7)

$${\cal F}'(\zeta) = \frac{3}{2}\left(\sqrt{1+\zeta}-\sqrt{1-\zeta}\right) -\frac{3}{2}\zeta-\frac{3}{16}\zeta^3.$$ (C.8)