Estrapolazione in time-step

Come abbiamo visto (cap 2) nel Diffusion Monte Carlo noi usiamo un'approssimazione dell'operatore $e^{-\tau H}$ che è valida nel limite di time-step che va a zero. In pratica i conti da noi eseguiti sono stati fatti con un time-step finito per ogni $r_s$ e poi estrapolati nel limite di $\tau \to 0$. Il valore di time-step per ogni $r_s$ è stato scelto abbastanza piccolo da permettere un'accurata estrapolazione dei nostri dati. Nello stesso tempo, però, le configurazioni generate, ad ogni successiva interazione, sono più correlate quanto più è piccolo $\tau$, e l'errore statistico, per un calcolo eseguito su un numero dato numero di interazioni, aumenta all'aumentare delle correlazione fra le successive configurazioni. Il time-step quindi è stato scelto come compromesso fra l'errore sistematico di time-step e l'errore statistico.
Sono poi stati estrapolati in time-step,per un certo numero di sistemi (vedi figura 3.1), ad ogni $r_s$, con una funzione del tipo:

$$E(\tau) = E(\tau=0) - p \tau^2$$ (3.24)

dove $p$ è un numero positivo, in quanto l'errore sistematico di time-step commesso con il nostro algoritmo tende ad abbassare l'energie calcolate.

Figura 3.1: Estrapolazione in time-step $\tau$ per un sistema a $r_s =5$ con $N_\uparrow=21 , N_\downarrow=37$.

La correzioni in time-step sono state poi interpolate, per ogni $r_s$, in funzione della polarizzazione, con la funzione:

$$p(\zeta) = q - r \zeta^4$$ (3.25)

Dove $q$ e $r$ sono quantità positive. La correzione così ottenuta, per ogni $r_s$, è stata applicata a tutti i sistemi. Come si puo' vedere l'errore in time-step è maggiore per sistemi non polarizzati eq. 3.25. Sebbene ci sia anche una piccola dipendenza dell'errore di time-step dal numero di particelle, questa si è rivelata essere entro l'errore statistico e quindi non l'abbiamo considerata.