Il fattore di Jastrow

Il fattore che tiene conto della correlazione di coppia è detto fattore di Jastrow o pseudopotenziale. La particolare forma che abbiamo scelto per tale fattore è simile a quella usata da Ortiz, Harris, e Ballone [39]:

$$u_{\sigma_i \sigma_j}(r_{ij}) = \frac{ar_{ij}+br_{ij}^2}{1+cr_{ij}+dr_{ij}^2}$$ (3.4)

Essa contiente tre parametri liberi $b,c,d$ che vengono ricavati dall'ottimizzazione della funzione d'onda(vedi 3.3), mentre il parametro $a_s$ è fissato dalla condizione di cuspide elettrone-elettrone [29] , differente a seconda dello spin relativo di due elettroni $i,j$. Questa condizione evita che, quando due elettroni si avvicinano, diverga $H \Psi / \Psi$. Si ha quindi:

$$\lim _{r \rightarrow 0} \frac{du}{dr} = - \frac{r_s}{d \pm 1} \\$$ (3.5)

dove il segno + vale per spin paralleli e quello - per spin antiparalleli. Poiché il nostro sistema è finito anche lo pseudopotenziale deve essere tagliato entro le dimensioni della nostra cella di simulazione; modifichiamo allora il nostro pseudopotenziale nel modo seguente:

$$u_{\sigma_i,\sigma_j} \left(\mid r_i - r_j \mid \right) = \l... ...sum_{k=0}f_k(r-R_b)^k \mbox{ per } r > R_b \end{array} \right.$$ (3.6)

Dove le $f_k$ sono scelte in modo che le derivate prima e seconda di $u(r)$ siano continue, e $R_b$ è un stato preso pari a $\frac{5}{6}$ della dimensione della cella unitaria. Lo pseudopotenziale 3.6 non verifica il corretto andamento per $r \rightarrow \infty$ (non riproduce la corretta dispersione plasmonica), tuttavia tale violazione non diminuisce la qualità della nostra funzione d'onda, in quanto le dimensioni del nostro sistema sono finite e lo pseudopotenziale viene tagliato prima di $5/6L$; inoltre nel calcolo dell'energia, i contributi a lungo raggio sono molto meno significativi di quelli a corto raggio (vedi anche [39]). E' possibile costruire uno pseudopotenziale che soddisfi la condizione di cuspide elettrone-elettrone e che abbia anche il corretto sviluppo a grandi $r_s$ partendo dall'approssimazione RPA [40], ma, come si può vedere dai nostri risultati, lo pseudopotenziale, che abbiamo scelto, ci porta ad una funzione d'onda migliore con energia e varianza più basse di quelle con pseudopotenziali RPA.
Per migliorare ulteriormente la nostra funzione d'onda si puo considerare uno pseudopotenziale con più parametri della forma:

$$u(r) = \left( \frac{ar+br^2}{1+c2r+d2r^2}\right) \left(1+\sum_i g_i cos(k_ir) \right)$$

Sebbene questa forma funzionale dia un'energia ed una varianza più piccole, a noi interessa solo come funzione guida del DMC; dopo alcune prove, abbiamo preferito la forma (eq. 3.4) in quanto richiede meno tempo per l'ottimizzazione ed è adeguata come funzione guida nel DMC.