Variational Monte Carlo

Il metodo VMC è un metodo stocastico che permette di calcolare valori di aspettazione di operatori quantistici su una funzione d'onda data (vedi [28]). Questo metodo si basa sul calcolo di integrali multidimensionali che coinvolgono la funzione d'onda e tali operatori. Nel nostro caso vogliamo studiare l'energia dello stato fondamentale del gas bidimensionale e, grazie al principio variazionale, sappiamo che la stima fornita dal VMC è un limite superiore per tale energia ^2.1.
Il valore di aspettazione di un operatore $A$ sulla funzione d'onda $\Psi_T$ ha la forma:

$$\langle A \rangle_{var} = \frac{\int \Psi_T^*(R) \hat A \Psi_T(R)dR}{\int \Psi_T^*(R) \Psi_T(R)dR}$$

Dove $R = (r_1,r_2,r_3, ... r_N)$ sono le cordinate dei nostri elettroni di una configurazione, come un ``istantanea `` del sistema.
Vogliamo riscrivere questo intergrale come:

$$\langle A \rangle_{var} = \int P(R) A_L(R)dR$$ (2.1)

dove $P(R)$ è una densità di probabilità, e $A_L(R)$ una quantità locale. Prendiamo allora:

$$P(R) = \frac {\vert\Psi_T(R)\vert^2 }{\int \Psi_T^*(R) \Psi_T(R)dR}$$

$$A_L(R) = \frac {\hat A \Psi_T}{ \Psi_T(R)dR}$$

Possiamo adesso campionare $P(R)$ e poi valutare $A_L(R)$ sulle configurazioni $\{R_i\}$ così ottenute. Per il teorema del limite centrale l'integrale 2.1 può essere stimato:

$$\langle A \rangle_{var} = \frac {1}{M} \sum_{m=1}^{M} A_L(R_m)$$ (2.2)

Per campionare la distribuzione di probabilità $P(R)$ utilizziamo l'algoritmo di Metropolis:

• Si parte da una configurazione iniziale $R_0$ arbitraria e se ne costruisce un'altra $R_1 =R_1 + \tau \Delta R$, dove $\Delta R$ è un vettore di numeri casuali distribuiti in modo uniforme tra $-1$ e $1$ e $\tau$ una variabile che regola la lunghezza del passo.
• la mossa è accettata con probabilità
  
  $$q= min \{1,p(R_1)/p(R_0)\} = min \{1,\Psi_T(R_1)^2/\Psi_T(R_0)^2\}$$
  
  

La simulazione avviene quindi in due fasi: prima si costruisce una serie di configurazioni, che grazie all'algoritmo di Metropolis cominciano dopo un po' a campionare la distribuzione d'equilibrio $p(R)$ (termalizzazione), ``cancellando le tracce'' della distribuzione iniziale; nella seconda fase si utilizzano le configurazioni ottenute per calcolare i valori medi degli operatori. Il processo continua finché l'errore statistico, legato alla varianza associata alle medie sulle configurazioni, è sufficientemente piccolo.